导数证明,
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在 x≠0,

g'(x) = [f'(x)x-f(x)]/x²,

在 x=0,

g'(0) = lim(x→0)[g(x)-g(0)]/x

= lim(x→0)[f(x)-f'(0)x]/x² (0/0)

= lim(x→0)[f'(x)-f'(0)]/(2x)

= f"(0)/2,

即 g(x) 处处可导,且因导函数

g'(x) = [f'(x)x-f(x)]/x²

在 x≠0 是连续的；在 x=0,

lim(x→0)g'(x)

= lim(x→0)[f'(x)x-f(x)]/x² (0/0)

= lim(x→0)[f“(x)x+f'(x)-f‘(x)]/(2x)

= lim(x→0)f“(x)/2

= f"(0)/2

= g'(0),

即 g'(x) 在 x=0 连续,得证.

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