半圆的直径AB=2,D是半圆弧上的一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α,用α表示四边形的面积S.
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如图

∵D是以AB为直径的半圆上的一点,AB=2

∴∠ADB=90°

AD=AB×cosα=2cosα

BD=AB×sinα=2sinα

∵DC为切线

∴∠BDC=α

S△ABD=AB×AD×sinα/2=2×2×cosα×sinα/2=2×sinα×cosα=sin(2α)

S△BDC=BD×DC×sinα/2=2sinα×2×sinα/2=2×(sinα)^2=1-cos(2α)

S ABCD=S△ABD+S△BDC=sin(2α)+1-cos(2α)=1+sin(2α)-cos(2α)

当sin(2α)= -cos(2α)

即2α=135°α=67.5°时

S ABCD取最大值=1+√2/2-（-√2/2）=1+√2

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