已知抛物线y 2 =2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5
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（1）由抛物线方程得其准线方程： x=-

p

2 ，

根据抛物线定义点Q（4，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4+

p

2 =5 ，解得p=2

所以抛物线方程为：y 2=4x，将Q（4，m）代入抛物线方程，解得m=±4．…（6分）

（2）证明：设点A，B，C，D的坐标分别为 (

y 21

4 ， y 1 ) ， (

y 22

4 ， y 2 ) ， (

y 23

4 ， y 3 ) ， (

y 24

4 ， y 4 ) ，

则直线AB的斜率 K AB =

y 1 - y 2

y 21

4 -

y 22

4 =

4

y 1 + y 2 ，于是得y 1+y 2=4．

同理知直线AC，BD，AD，BC的斜率分别为

4

y 1 + y 3 ，

4

y 2 + y 4 ，

4

y 1 + y 4 ，

4

y 2 + y 3 ，

由A，P，C三点共线得

4

y 1 + y 3 =

y 1 -2

y 21

4 -2 ，即y 1y 3-2（y 1+y 3）+8=0，

以4-y 2代y 1得y 2y 3-2（y 2+y 3）=0，①

同理由B，D，P共线得y 1y 4-2（y 1+y 4）=0②

设AD，BC交点为M（m，n），

由A，D，M共线知

4

y 1 + y 4 =

y 1 -n

y 21

4 -m ，即y 1y 4-n（y 1+y 4）+4m=0③

同理由B，C，M共线得y 2y 3-n（y 2+y 3）+4m=0④

将①②代入③④得（2-n）（y 1+y 4）+4m=0，（2-n）（y 2+y 3）+4m=0

∵y 1+y 4≠y 2+y 3，∴m=0，n=2

即直线AD，BC交于一个定点M（0，2）…（15分）

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