武汉理工大学考试试题纸（A卷）
课程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科
题号x09一x09二x09三x09四x09五x09六x09七x09八x09九x09十x09总分
题分x0915x0915x0932x0914x0914x0910x09x09x09x09x09100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、填空题（每小题3分,共15分）
1、设 ,则 ＝____________.
2、设 ,且 ,则 ＝____________.
3、已知 , 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解,且 ,则该方程
组的通解为____________.
4、已知向量组 , , , ,则
＝____________.
5、设三阶方阵 与对角阵 相似,则 ＝ .
二、单项选择题（每小题3分,共15分）
1、设 是n维列向量,且 ,则 ＝（ ）.
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)
2、设 , , ,则 ＝（ ）.
(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4
3、设 是向量空间 的一个基,则下列仍是 的一个基的是（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
4、二次型 是正定二次型,则 应满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
5、设A为 阶方阵, 为 的伴随矩阵,且 ,则 的秩为（ ）.
(A) (B) (C) 1 (D) 0
三、计算题(每小题8分,共32分)
1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式,计算 ；
2、设 , ,求矩阵 ,使其满足 ；
3、设 为n阶方阵,且 ,计算 ；
4、设 , , , ,求： 、 为
何值时, 能由 线性表示,且表示唯一,并求出表示式.
四、(14分) 已知线性方程组
（1）x09求：a为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；
（2）x09在方程组有无穷多个解时,用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解.
五、（14分） 已知实二次型 ,
（1）写出 的矩阵 ；
（2）求 的秩；
（3）求正交变换 （必须写出正交变换矩阵P）,把 化为标准形.
六、证明题（共10分）
1、（6分） 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明： , , , 也是该方程组的一个基础解系；
2、（4分） 设 为 阶方阵,且 , ,证明： .
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 （ A 卷）
一、填空题（每小题3分,共15分）
1、 ； 2、 ； 3、k( ),k R； 4、3； 5、 3.
二、选择题（每小题3分,共15分）
1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D
三、解答题（每小题8分,共32分）
1、 ………………………………………………………………（3分）
………………………………………………………………（8分）
2、 由 得 ……………………………………………………………（2分）
因 ～
～ ………………………………………………（6分）
所以 X= ………………………………………………………………（8分）
3、 因 , ……………………………………………………………（2分）
所以 …………………………………………………………（4分）
= = …………………………………………………………（6分）
= = ………………………………………………………………（8分）
4、记 ,设 . ……………………………………… （2分）
解法一： ～
～ ………………… …………………（4分）
故当 且 时,方程组有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一； ………（6分）
此时, ～ , . ………………… …………………（8分）
解法二： ………………… …………………（2分）
故当 且 时,方程组（1）有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一；……（4分）
此时, ～
～ ～ ………… …………………（4分）
………… ……………………………………（8分）
四（14分）、
系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,
（1）解法一 B ～ ～ … …………………（4分）
当 且 时, ,方程组有唯一解；
当 时,B ～ , ,方程组无解；
当 时,B ～ , ,方程组有无穷多个解. ………………（7分）
解法二 … ………… … …………………（4分）
当 且 时, , ,方程组有唯一解；
当 时, ～ , ,方程组无解；
当 时, ～ , ,方程组有无穷多个解. … …………… ……………… ………………（7分）
(2) 在方程组有无穷多个解时,得同解方程组 ,取 ,得原方程组一特解 ； ………………………………………………………………（9分）
在 中取 ,得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 , ； ………………………………………………（12分）
所以原方程组的通解为 , 为任意常数. …………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意.
五（14分）、（1） 的矩阵 ； …………………………………………………………………（2分）（2）因 , ,所以 的秩为2； …………………………………………（3分）
（3）由 ,得A的特征值为 , . ……………（6分）
当 时,解方程 ,由 = ～ ,得基础解系 ；
当 时,解方程 ,由 = ～ ,得基础解系 ；
把 单位化,得 , …………………………………………（12分）
则有正交阵 和正交变换 ,把 化为标准形
. ………………………………………………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式,故正交阵 有多种形式,改卷时需注意.
六、证明题
1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
则有 , , ,
, 因 所以 K 可逆,
或 ～ , 所以 K 可逆,从而 .
又因为 是 的一个基础解系,故它们线性无关, ,于是 ,解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系. ………………………………………………（6分）
证法二：由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
设 ,则有
,
因为 是 的一个基础解系,它们线性无关,故有
其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ,所以解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系.………………………………………………（6分）
2、证法一： 因为 ,所以 , ……………………………………………………………（1分）
则有 ,
故有 . ………………………………………………………………………………（4分）
证法二： ,因此
. ………………………………………………………………………………（3分）
又因为 ,所以有 . ………………………………………………………………（4分）
