线性代数 题七 求详解
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∵a[1],a[2],...,a[m]线性相关,∴存在不全为0的实数c[1],c[2],...,c[m]使得

c[1]a[1]+c[2]a[2]+...+c[m]a[m]=0,若每个向量a[k],(k=2,3,...,m)都不能由

a[1],a[2],...,a[k-1]线性表出,则c[m]=0,否则a[m]可被它前面的m-1个向量线性表出

∴c[1]a[1]+c[2]a[2]+...+c[m-1]a[m-1]=0,则c[m-1]=0,否则同样

a[m-1]可被它前面的m-2个向量线性表出,同理c[2]=c[3]=...=c[m-2]=0

∴c[1]a[1]=0,∵a[1]≠0,∴c[1]=0,即c[1]=c[2]=...=c[m]=0

这与c[1],c[2],...,c[m]不全为0矛盾,所以必存在某个向量a[k],(2≤k≤m)可由

它前面k-1个向量a[1],a[2],...,a[k-1]线性表出