超难的数学题啊~~想了好久`~数学高高高高手就来!
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柯西解法
对于连续函数f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y) (*)
用数学归纳法
可以证明f(x+y+...+z)=f(x)+f(y)+...+f(z) 其中x,y,...,z 一共n个数
在上式中设x=y=..=z
则f(nx)=nf(x) (1)
在上式中用x/n 代替 x
所以f(x)=nf(x/n) 即f(x/n)=f(x)/n
在上式中用mx ( m是正整数) 代替x
所以f(mx/n)=f(mx)/n=mf(x)/n (2)
在(*)式中令x=y=0 所以f(0)=2f(0) 所以f(0)=0
再令y=-x 所以f(0)=f(x)+f(-x)=0 所以f(x)=-f(-x)
f(-mx/n)=-mf(x)/n
所以f(rx)=rf(x) 这里 r=m/n 或者-m/n 是所有有理数
令x=1
所以对于所有的有理数r,f(r)=rf(1)=cr 这里c=f(1)为常数
设λ为任意无理数 则必定存在有理数r1,r2无限接近λ 使得r1
