已知函数f（x）=ex+2x2-ax．
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解题思路：（I）由已知中函数的解析式，我求出函数的导函数的解析式，然后根据函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，即导函数在区间[0，1]上存在唯一的零点，即f'（0）•f'（1）＜0，解不等式即可得到满足条件的a的取值范围．
（Ⅱ）将a=3代入，并构造函数
g(x)＝
e
x
−
1
2
x
2
−1
x
，利用导数法求出函数的最小值，然后根据函数恒成立的性质，即可求出满足条件的实数a的取值范围．
（Ⅰ）f′（x）=ex+4x-a，
∵f′（0）=1-a，f′（1）=e+4-a，
又∵函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点
∴f'（0）•f'（1）＜0．
∴1＜a＜e+4
（Ⅱ）由f(x)≥
5
2x2+(a−3)x+1，得ex+2x2−3x≥
5
2x2+(a−3)x+1，
即ax≤ex−
1
2x2−1，
∵x≥
1
2，∴a≤
ex−
1
2x2−1
x，
令g(x)＝
ex−
1
2x2−1
x，则g′(x)＝
ex(x−1)−
1
2x2+1
x2．
令φ(x)＝ex(x−1)−
1
2x2+1，则φ'（x）=x（ex-1）．
∵x≥
1
2，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在[
1
2，+∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(
1
2)＝
7
8−
1
2
e＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在[
1
2，+∞)上单调递增，
则g(x)≥g(
1
2)＝
e
1
2−
1
8−1
1
2＝2
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件及导数在最大值、最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式是解答此类问题的关键．
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