函数f(x)=a^x-x的极值点

函数f(x)=a^x-x的极值点

对x属于R使f(x)>=0恒成立,求a的取值范围(a>0且不等于1

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6个回答

考虑a>1和1>a>0两种情况

1）1>a>0的时候

画图考虑

a^x随x增大而减小,在x趋近无穷的时候函数趋近于0

-x随x增大而减小,在x趋近无穷的时候函数趋近于负无穷

所以这种情况下f(x)=a^x-x不可能恒大于0

2)a>1的时候

函数值先减小后增大

函数在定义域内（整个实数空间）连续可导

f'(x)=lna*a^x-1

f'(x)=0的时候 x=loga(1/lna)

验证：x=loga(1/lna)的时候f''(x)不等于0,所以是极值点（极小值）

此时f(x0)=(1/lna) - loga(1/lna)=[1-ln(1/lna)]/lna

当a>e^(1/e),有f(x0)>0———(即最小点值＞0,函数在定义域内恒大于0)

所以a>e^(1/e)是问题的解

不知解错没有,思路是这样的,

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