高二导数题,设正三棱的柱体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为?
1个回答
设三角形底的边长为L,其内接园的半径是R,有：
R=L/(2√3)
三角形的高=3R=L√3/2
三棱柱的高=R=L/(2√3)
V=(L3R/2)R
=L(L√3/4)*[L/(2√3)]
=(L^3)/8
L=2（V 开立方）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
用导数来求解:
设三角形底的边长为L,三角形高为h,其内接园的半径是R,三棱柱高为H,有：
L=2√3R
h=3R
三角形底面积S1=(3R/2)*2√3R=3√3R^2
三棱柱侧面积S2=3*2√3R*H=6√3R*H
V=S1*H=3√3R^2*H
H=V/(3√3R^2)
三棱柱表面积S=S1+S2=3√3R^2+6√3R*H=3√3R^2+2V/R
S'=6√3R-2V/R^2
令S'=6√3R-2V/R^2=0
R^3=V/(3√3)
R=V 开立方/√3
又S''=6√3+V/R^3； 当R=V 开立方/√3时,S''=9√3＞0,即此时S有极小值.
有L=2√3R=2√3(V 开立方)/√3
=2(V 开立方)
相关问题
