求证：1+2+22+.+2^5n-1能被31整除
2个回答

首先按照等比数列求和公式计算

1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)

把 5n 看成一个整体, 比如设 m = 5n

则以上一共有 m 项

按照等比数列公式

Sm = 1 * (2^m -1)/(2-1) = 2^m -1

= 2^5n - 1

= (2^5)^n - 1

= 32^n -1

= (31 + 1)^n -1

对于 (31 + 1 )^n ,利用二项式定理

上式 =31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31 + C(n,n) - 1

其中 C(n,n) = 1, 所以 = 31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31

每项中 都含有31,所以1+2+22+.+2^5n-1能被31整除

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