在数列{an}中，已知a1=2，对任意正整数n都有nan+1=2（n+1）an．
1个回答
解题思路：（1）通过递推关系式，判断
{
a
n
n
}
是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求数列{an}的通项公式；
（2）直接利用错位相减法求数列{an}的前n项的和Sn；
（3）通过nan≥λ（Sn-2）恒成立，求出λ在一侧的不等式，通过基本不等式求出最值，即可求实数λ的最大值．
（1）∵a1=2，nan+1=2（n+1）an，
∴
an+1
n+1
an
n＝2，
所以{
an
n}是以
a1
1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴
an
n＝2×2n−1＝2n，an＝n×2n
所以数列{an}的通项公式是an＝n•2n；
（2）Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
可得2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，
用错位相减法，数列{an}的前n项的和Sn＝(n−1)×2n+1+2；
（3）对于一切非零自然数n都有nan≥λ（Sn-2）恒成立，
把an＝n•2n，Sn＝(n−1)×2n+1+2代入nan≥λ（Sn-2）得到：n2≥2λ（n-1）对于一切非零自然数n成立．
当n=1时，λ为任意实数，
当n≥2时，等价于
n2
n−1≥2λ对于一切非零自然数n成立．
等价于函数y＝
n2
n−1(n≥2)的最小值≥2λ，
而∵n≥2，∴y＝
n2
n−1＝
[(n−1)+1]2
n−1＝(n−1)+
1
n−1+2＝[
(n−1)−
1
n−1]2+4≥4．
当n=2时取等号，所以函数y＝
n2
n−1(n≥2)的最小值4≥2λ，λ≤2，
综合得到，所以实数λ的取值范围为（-∞，2]．所以实数λ的最大值为2．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，数列与不等式的关系，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
相关问题
