数列an满足a1=1/3,a(n+1)=an^2/an^2-an+1,n=1,2.
1个回答
(1)易知a2=1/7,a3=1/43
(2)因a(n+1)=an^2/(an^2-an+1)
则1/a(n+1)=1/an^2-1/an+1（取倒数）
令bn=1/an,易知b1=1/a1=3
则有b(n+1)=bn^2-bn+1
即有1/[b(n+1)-1]=1/[bn(bn-1)]=1/(bn-1)-1/bn（移项、取倒数、裂式）
即有1/bn=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]
即有an=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]
于是有：
a1=1/(b1-1)-1/(b2-1)
a2=1/(b2-1)-1/(b3-1)
...
an=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]
将以上各式相加得a1+a2+...+an=1/(b1-1)-1/[b(n+1)-1]（中间项抵消）
注意到b(n+1)=1/a(n+1),且b1=3
则a1+a2+...+an=1/2-a(n+1)/[1-a(n+1)]（题中结论有误!）
(3)由（2）知b(n+1)-1=bn^2-bn
注意到0(bn-1)^2
于是有b(n+1)-1>(bn-1)^2>[b(n-1)-1]^(2^2)>...>(b1-1)^(2^n)
注意到b1=3
则有b(n+1)-1>2^(2^n)
又由（2）知b(n+1)=bn^2-bn+1
注意到0
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