解题思路：（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．
（2）由题意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），由此得an+12-an2=an+1+an．所以an+1-an=1．所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知an=n，则
1
a
n
a
n+2
＝
1
n(n+2)
＝
1
2
(
1
n
−
1
n+2
)
．再用裂项求和法能够推导出实数a的取值范围．
（1）当n=1时，有a13=a12，
由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，
将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）由于a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）由（2）知an=n，则[1
anan+2＝
1
n(n+2)＝
1/2(
1
n−
1
n+2)．
所以Sn＝
1
a1a3+
1
a2a4+
1
a3a5++
1
an−1an+1+
1
anan+2]=
1
2(1−
1
3)+
1
2(
1
2−
1
4)+
1
2(
1
3−
1
5)++
1
2(
1
n−1−
1
n+1)+
1
2(
1
n−
1
n+2)=
1
2(1+
1
2−
1
n+1−
1
n+2)=
3
4−
1
点评：
本题考点： 等差数列的通项公式；数列的求和；不等式．
考点点评： 本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识
