如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：

（1）F为BD的中点．

（2）△DEF为等边三角形．

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解题思路：（1）根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠ABC=∠A=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=30°，根据两直线平行，内错角相等求出∠CDB=30°，从而得到∠CBD=∠CDB，再根据等角对等边的性质求出CB=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得F为BD的中点；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=EF，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BDE=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明．

（1）证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，

∴∠ABC=∠A=60°，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=30°，

∵DC∥AB，

∴∠BDC=∠ABD=30°，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

∵CF⊥BD，

∴F为BD的中点；

（2）∵DE⊥AB，F为BD的中点，

∴DF=BF=EF，

∵∠ABD=30°，

∴∠BDE=90°-30°=60°，

∴△DEF为等边三角形．

点评：

本题考点： 梯形；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

考点点评： 本题考查了等腰梯形的性质，角平分线定义，两直线平行内错角相等的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，等边三角形的判定，根据角的度数的相等求出相等的角是解题的关键．

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