如图,直线AC平行BD,连接AB,直线AC,BD及 - 已解决

如图,直线AC平行BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面…

1个回答

如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?（直接回答成立或不成立）（3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． ---- 分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E,由AC∥BD,可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA,可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线,根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置,分三种情况讨论．（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E． ∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD． ∵∠APB=∠PAE+∠PEA, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2 过点P作FP∥AC, ∴∠PAC=∠APF． ∵AC∥BD,∴FP∥BD． ∴∠FPB=∠PBD． ∴∠APB=∠APF+∠FPB =∠PAC+∠PBD；解法三：如图3, ∵AC∥BD, ∴∠CAB+∠ABD=180°, ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时,结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上, 结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°, ∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时, 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4,连接PA,连接PB交AC于M． ∵AC∥BD, ∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5 ∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度． ∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC． ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6,连接PA,连接PB交AC于F ∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD． ∵∠PAC=∠APF+∠PFA, ∴∠PAC=∠APB+∠PBD．