已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．
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解题思路：（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；
（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
（Ⅰ）由f（x）=x3-3ax2+3x+1得f′（x）=3x2-6ax+3
当a=2时，f′（x）=3x2-6ax+3=3x2-12x+3=3（x2-4x+1）
由f′（x）=3（x2-4x+1）＞0得x＞2+
3或x＜2−
3；
由f′（x）=3（x2-4x+1）＜0得2−
3＜x＜2+
3；
所以f（x）的单调递增区间是(−∞，2−
3]和[2+
3，+∞)，f（x）的单调递减区间是[2−
3，2+
3]
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x2-6ax+3=0可得a=[1/2]（x+
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
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