已知函数f（x）=2x−12x+1，
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解题思路：（1）先验证f（-1）=-f（1），可知此函数为奇函数，再用奇函数的定义证明即可，奇函数定义：如果对∀x∈D，f（-x）=-f（x）则函数f（x）为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义证明即可，但一定注意f（x1）-f（x2）符号的判断．
由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对∀x∈R
有f(−x)＝
2−x−1
2−x+1＝
(2−x−1)2x
(2−x+1)2x＝
1−2x
1+2x＝−f(x)
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x1，x2∈R，设x1＜x2
则f(x1)−f(x2)＝
2x1−1
2x1+1−
2x2−1
2x2+1=
(2x1−1)(2x2+1)−(2x1+1)(2x2−1)
(2x1+1)(2x2+1)=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2且f（x）=2x为增函数，
∴2x1 ＜2x2
又∵(2x1+1)＞0；(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断和证明，及函数单调性的证明，属于基础题型．
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