已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R,x∈R)(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由(2)函数f(x)
2个回答
1、a=0时,f(x)=x|x|为奇函数.因为y=x是奇函数,y=|x|是偶函数.两者的乘积为奇函数
当a≠0时,非奇非偶函数.
f(-x)=-x|x+a|
若f(x)=-f(-x)恒成立,则有,|x-a|=|x+a|恒成立,解得a=0.从而a=0时,f(x)为奇函数.
若f(x)=f(-x)恒成立,则有|x-a|=-|x+a|恒成立,显然无解.
综上可知：a=0时,f(x)为奇函数.a≠0时为非奇非偶函数
2、f(x)＝x|x-a|(a∈R,x∈R）
a>0时,f(x)= x(x-a) x>a
-x(x-a) x≤a
此时,在[0,a]上,函数为减函数.在[a,+∞)为增函数.所以不符合条件
当a≤0时,f(x)= x(x-a) x>a
-x(x-a) x≤a
函数在[a/2,+∞）上为增函数.显然,在［0,+∞）上能单调递增.
综上可知,当a≤0时,f(x)在［0,正无穷）上单调递增
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