（2014•安徽模拟）已知函数f（x）=xlnx．
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解题思路：（I ）不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于对一切x∈（0，+∞），g（x）min≥-1成立，求导数，确定函数的最大值，即可求实数a 的取值范围；
（II）求导数，利用导数的意义，借助于函数的单调性，即可证得结论．
（I ）不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于对一切x∈（0，+∞），g（x）min≥-1成立
设g（x）=f（x）-ax，x＞0，则g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）＞0，则x＞ea-1，令g′（x）＜0，则0＜x＜ea-1，
∴g（x）min=g（ea-1）=-ea-1≥-1，∴a≤1；
（II）证明：由题意f′（x）=lnx+1，则f′（x0）=lnx0+1，∴lnx0＝
f(x2)−f(x1)
x2−x1−1
①lnx0−lnx2＝
f(x2)−f(x1)
x2−x1−lnx2−1=
x2lnx2−x1lnx1
x2−x1−lnx2−1=
ln
x2
x1
x2
x1−1−1
令
x2
x1=t，则lnx0−lnx2＝
lnt−t+1
t−1，t＞1
令u（t）=lnt-t+1，则u′(t)＝
1
t−1＜0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递减
∴u（t）＜u（1）=0，∴lnx0＜lnx2，∴x0＜x2；
②lnx0−lnx1＝
f(x2)−f(x1)
x2−x1−lnx1−1=
x2
x1ln
x2
x1
x2
x1
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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