设θ和φ是方程acosx+b sinx=c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：[a
cos
θ+ϕ/2
＝
b
sin
θ+ϕ
2
＝
c
cos
θ−ϕ
2
]．
rxlhome
1年前
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幼苗
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解题思路：把θ和φ代入方程，可得两个等式，把它们相减，通过和差化积可得即[a
cos
θ+φ/2
]=[b
sin
θ+φ/2
]；把两等式相加并根据[a
cos
θ+φ/2
]=[b
sin
θ+φ/2
]可得[b
sin
θ+φ/2
]=[c
cos
θ−φ/2
]，进而得证．
∵θ和φ是方程acosx+bsinx=c的二个根
∴acosθ+bsinθ=c ①
acosφ+bsinφ=c ②
①-②得a（cosθ-cosφ）+b（sinθ-sinφ）=0
∴-2asin[θ+φ/2]sin[θ−φ/2]+2bcos[θ+φ/2]sin[θ−φ/2]=sin[θ−φ/2]（bcos[θ+φ/2]-asin[θ+φ/2]）=0
∵θ±φ≠2kπ
∴sin[θ−φ/2]≠0
∴bcos[θ+φ/2]-asin[θ+φ/2]=0，即[a
cos
θ+φ/2]=[b
sin
θ+φ/2]③
同理①+②得（acos[θ+φ/2]+bsin[θ+φ/2]）cos[θ−φ/2]=c ④
把③代入④得[b
sin
θ+φ/2]=[c
cos
θ−φ/2]
故[a
cos
θ+ϕ/2＝
b
sin
θ+ϕ
2＝
c
cos
θ−ϕ
2]．
点评：
本题考点： 三角函数恒等式的证明．
考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明本题主要是通过和差化积公式完成的．
1年前
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