解题思路：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式，求出a，b，c的值，根据函数的奇偶性可得到一个含等式，根据x=-1时，取得极值1，可知函数在x=-1时，导数等于0，且x=-1时，函数值等于1，又可得到两个含a，b，c的等式，三个等式联立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）不等式f（x1）-g（x2）≤0恒成立，只需f（x）max-g（x）min≤0即可；
（Ⅲ）先假设存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB，则切线斜率与AB斜率互为负倒数，又因为函数在A，B点处的切线斜率时函数在该点处的导数，就可得到含A，B点的坐标的方程，解方程，若方程有解，则假设成立，若方程无解，则假设不成立．
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即bx2=0对于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，∴f′（x）=3ax2+c
∵x=-1时，函数f（x）取极值1．
∴f′（-1）=0且f（-1）=1．
∴
3a+c＝0
−a−c＝1，
∴a=[1/2]，c=-[3/2]．
∴f(x)＝
1
2x3−
3
2x
（Ⅱ）不等式f（x1）-g（x2）≤0恒成立，只需f（x）max-g（x）min≤0即可．
∵函数g（x）在[0，m]上单调递减，∴g（x）min=g（m）=-m2+[5/2]m
又f(x)＝
1
2x3−
3
2x，f′(x)＝
3
2x2−
3
2＝
3
2(x−1)(x+1)，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1；f′（x）＜0得-1＜x＜1，
故函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
则当x=1时，f（x）取得极小值，
在（0，+∞）上，当f(x)＝
1
2x3−
3
2x=f（0）时，x=
3，
①当0＜m≤
3时，f（x）max=f（0）=0，
则f（x）max-g（x）min=0-（-m2+[5/2]m）=m2-
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查函数的解析式，考查函数导数与函数切线斜率之间的关系，考查恒成立问题，属于中档题．
