初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地,形如 （ 是常数, ）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是2．
⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
轴
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
2. 的性质：
上加下减.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
轴
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
3. 的性质：
左加右减.
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
X=h
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
X=h
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移,负左移； 值正上移,负下移”．
概括成八个字“左加右减,上加下减”．
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位, 变成
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位, 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看, 与 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 ,其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 , （若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1. 当 时,抛物线开口向上,对称轴为 ,顶点坐标为 ．
当 时, 随 的增大而减小；当 时, 随 的增大而增大；当 时, 有最小值 ．
2. 当 时,抛物线开口向下,对称轴为 ,顶点坐标为 ．当 时, 随 的增大而增大；当 时, 随 的增大而减小；当 时, 有最大值 ．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： （ , , 为常数, ）；
2. 顶点式： （ , , 为常数, ）；
3. 两根式： （ , , 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数 中, 作为二次项系数,显然 ．
⑴ 当 时,抛物线开口向上, 的值越大,开口越小,反之 的值越小,开口越大；
⑵ 当 时,抛物线开口向下, 的值越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大．
总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向, 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 的前提下,
当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下,结论刚好与上述相反,即
当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来,在 确定的前提下, 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ,在 轴的右侧则 ,概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴上方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 时,抛物线与 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴下方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来, 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之,只要 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 轴对称
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
2. 关于 轴对称
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
3. 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是 ；
关于原点对称后,得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后,得到的解析式是 ；
关于顶点对称后,得到的解析式是 ．
5. 关于点 对称
关于点 对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.
图象与 轴的交点个数：
① 当 时,图象与 轴交于两点 ,其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 .
② 当 时,图象与 轴只有一个交点；
③ 当 时,图象与 轴没有交点.
当 时,图象落在 轴的上方,无论 为任何实数,都有 ；
当 时,图象落在 轴的下方,无论 为任何实数,都有 ．
2. 抛物线 的图象与 轴一定相交,交点坐标为 , ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 , , 的符号,或由二次函数中 , , 的符号判断图象的位置,要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
抛物线与 轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点, 则 的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：
如图,如果函数 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为 ,求这条抛物线的解析式.
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题.
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1,则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示,则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1
