圆内接四边形对角线互相垂直,求证:(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和
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如图

(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和

AB²=AM²+BM²,

CD²=CM²+DM²,

∴AB²+CD²=AM²+BM²+CM²+DM²,

同理BC²+DA²=AM²+BM²+CM²+DM²,

∴AB²+CD²=BC²+DA².

⑵经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.

提示;

由∠DCA=∠DBA=∠AMF=∠CME,

故EM=EC,

同理EM=ED,

因此EC=ED,

即E为CD的中点;

⑶两条对角线之积等于两组对边之积的和

在AC上取一点N,使∠NDA=∠CDB,

又∠DAC=∠DBC,

∴⊿NDA∽⊿CDB,

AD/AN=BD/BC,

∴AD·BC=AN·BD;……………………①

由⊿NDA∽⊿CDB,

得DA/DB=DN/DC

又由∠NDA=∠CDB,

得∠BDA=∠CDN,

∴⊿DAB∽⊿DNC,

∴AB/NC=BD/CD,

∴AB·CD=NC·BD,……………………②

由①+②得

AD·BC+AB·CD=﹙AN+NC﹚BD=AC·BD,

即AC·BD=AD·BC+AB·CD.