圆内接四边形对角线互相垂直,求证：(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和
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如图

(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和

AB²＝AM²＋BM²,

CD²＝CM²＋DM²,

∴AB²＋CD²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²,

同理BC²＋DA²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²,

∴AB²＋CD²＝BC²＋DA².

⑵经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.

提示；

由∠DCA＝∠DBA＝∠AMF＝∠CME,

故EM＝EC,

同理EM＝ED,

因此EC＝ED,

即E为CD的中点；

⑶两条对角线之积等于两组对边之积的和

在AC上取一点N,使∠NDA＝∠CDB,

又∠DAC＝∠DBC,

∴⊿NDA∽⊿CDB,

AD/AN＝BD/BC,

∴AD·BC＝AN·BD；……………………①

由⊿NDA∽⊿CDB,

得DA/DB＝DN／DC

又由∠NDA＝∠CDB,

得∠BDA＝∠CDN,

∴⊿DAB∽⊿DNC,

∴AB／NC＝BD／CD,

∴AB·CD＝NC·BD,……………………②

由①＋②得

AD·BC＋AB·CD＝﹙AN＋NC﹚BD＝AC·BD,

即AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.

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