在三角形ABC中,若sinA + sinB =sinC(cosA + cosB ).
1）判断三角形的形状
2）在上述三角形中,若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围
1).由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)得：
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=sinC{2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
2cos[(A-B)/2]{sin[(A+B)/2]-sinCcos[(A+B)/2]=0
若cos[(A-B)/2]=0,则(A-B)/2=π/2,A-B=π,而这是不可能的,故cos[(A-B)/2]≠0；
因此必有sin[(A+B)/2-sinCcos[(A+B)/2]=sin(π/2-C/2)-sinCcos(π/2-C/2)
=cos(C/2)-sinCsin(C/2)=cos(C/2)-2sin²(C/2)cos(C/2)=cos(C/2)[1-2sin²(C/2)]=0
cos(C/2)≠0,故必有1-2sin²(C/2)=0,sin²(C/2)=1/2,sin(C/2)=√2/2,C/2=45°,C=90°.
即△ABC是RT△,C是直角.
2)在上述RT△ABC中,A+B=90°,C=90°,角C的对边c是斜边,若斜边c=1,则其外接圆的
直径D=c=1,故内切圆半径r=2Dsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)= 2sin(A/2)sin[(90°-A)/2]sin45°
=(√2)sin(A/2)sin(45°-A/2)=sin(A/2)[cos(A/2)-sin(A/2)]=(1/2)sinA-sin²(A/2)=(1/2)sinA-(1-cosA)/2
=(1/2)(sinA+cosA-1)=(1/2)[sinA+sin(90°-A)-1]=(1/2)[2sin45°cos(A-45°)-1]
=(1/2)[(√2)cos(A-45°)-1]
∵-45°
