已知函数f（x）=ax2-x+lnx（a＞0）．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求a的值及在该点处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数是单调函数，则导数的符号相同，建立条件关系即可得到结论．
（Ⅰ）f′（x）=2ax-1+[1/x]．…（2分）
由题设，f′（1）=2a=2，a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=2（x-1），
即2x-y-2=0．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=[2ax2−x+1/x]．
当a≥[1/8]时，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）单调递增．…（9分）
当0＜a＜[1/8]时，△＞0，方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根
x1=
1−
1−8a
4a，x2=
1+
1−8a
4a．
当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜0，
这时f （x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[[1/8]，+∞）．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义，以及函数单调性和导数之间的关系．
相关问题
