已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE 1.求证:A1
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（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD
又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD．…（2分）
又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）连B1C．∵A1B1∥CD,∴B1C∥A1D．∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE,
∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1C∽Rt△CBE,
∴
BC
BB1
=
CE
BC
．∵CE=
1
2
BB1,BC=AD=a,∴
1
2
B
B 21
=BC2=a2,∴BB1=
2
a．…（5分）
取CD中点M,连BM．∵CD=
2
a,∴BM=
2
2
a．
过M作MN⊥DE于N,连BN．∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1,
∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵sin∠MDN=
MN
DM
=
CE
DE
,DE=
CE2+CD2
=
(
22a)2+(
2a)2
=
5
2
a,
∴MN=
a
10
．在Rt△BMN中,tan∠BNM=
BM
MN
=
5
,∴∠BNM=arctan
5
．
即二面角B-DE-C等于arctan
5
．…（9分）
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