解题思路：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）根据函数g（x）=f（x）-ax+m在[1e，e]上有两个零点，将函数转化为求函数极大值和极小值之间的关系，进行求实数m的取值范围；（Ⅲ）将不等式f(x1)−f(x2)x1−x2＜2恒成立，问题转化为最值恒成立，构造函数，利用导数求实数a的取值范围．
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，f′(x)＝
2
x−2x+2，切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f'（1）=2，则切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x2+m，则g′(x)＝
2
x−2x＝
−2(x+1)(x−1)
x，
∵x∈[
1
e，e]，故g'（x）=0时，x=1．
当[1/e＜x＜1时，g'（x）＞0；
当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1．（4分）
又g(
1
e)＝m−2−
1
e2]，g（e）=m+2-e2，g(e)−g(
1
e)＝4−e2+
1
e2＜0，则g(e)＜g(
1
e)，
∴g（x）在[
1
e，e]上的最小值是g（e）．（6分）
g（x）在[
1
e，e]上有两个零点的条件是
g(1)＝m−1＞0
g(
1
e)＝m−2−
1
e2≤0，
解得1＜m≤2+
1
e2，
∴实数m的取值范围是(1，2+
1
e2]．（8分）
（Ⅲ）不妨设1＜x1＜x2＜2，
f(x1)−f(x2)
x1−x2＜2恒成立等价于f（x2）-f（x1）＜2（x2-x1），即f（x1）-2x1＞f（x2）-2x2．（10分）
令u（x）=f（x）-2x，由x1，x2具有任意性知，u（x）在区间（1，2）内单调递减，
∴u'（x）=f'（x）-2＜0恒成立，即f'（x）＜2恒成立，（12分）
∴
2
x−2x+a＜2，a＜2x−
2
x+2在（1，2）上恒成立．
令h(x)＝2x−
2
x+2，则h′(x)＝2+
2
x2＞0，（13分）
∴h(x)＝2x−
2
x+2在（1，2）上单调递增，则h（x）＞h（1）=2，
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．
