已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．
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解题思路：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的最小值；
（Ⅱ）利用两切线的斜率互为倒数，可得
1
x
2
−a＝
ln
x
2
−a(
x
2
−1)
x
2
，从而可得ea-ae-1=0，令F（a）=ea-ae-1，确定其单调性，即可得出结论．
（Ⅰ）h'（x）=ex+
1
x+1−2，…（1分）
令p（x）=ex+
1
x+1−2，
因为x≥0，
所以p′(x)＝ex−
1
(x+1)2＝
(x+1)2ex−1
(x+1)2≥0，…（2分）
所以p（x），即h'（x））在[0，+∞）上递增，
所以h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，…（4分）
所以h（x）min=h（0）=1…（5分）
（2）证明：设g（x）的切点（x1，y1），f（x）的切点（x2，y2），
由
g′(x1)＝ex1＝
y1
x1
y1＝ex1，解得
x1＝1
y1＝e
k＝e，…（7分）
所以
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，正确构建函数是关键．
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