证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．
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解题思路：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，证明f（x）在[0，+∞）上为严格单调递增函数即可．

证明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则f（0）=0，且在[0，+∞）上可导．

因为f′（x）=ln（1+x）+1-

1

1+x2

=ln（1+x）+

x2

1+x2，

故当x＞0时，f′（x）＞0，

从而，f（x）在[0，+∞）上严格单调递增，

故当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，

即：（1+x）ln（1+x）＞arctanx．

点评：

本题考点： 利用单调性证明函数不等式．

考点点评： 本题考查了利用函数单调性证明不等式的方法，是一个基础型题目．利用函数单调性证明不等式是证明不等式问题的常用方法，需要熟练掌握．

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