请教一道函数综合题已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)为单调函数,且 f(x)•f[f(x)+1/x]=1,求f(1)
1个回答

令a=f(1)

则f(1)f(a+1)=1,f(a+1)=1/a

f(a+1)f(1/a+1/(a+1))=1

f(1/a+1/(a+1))=a=f(1)

因此1/a+1/(a+1)=1(这里要求f(x)严格单调)

a^2+a=2a+1

a^2-a-1=0

a=(1加减sqrt(5))/2

实际上令y=f(x)

f(x)f(y+1/x)=1,f(y+1/x)=1/y

f(y+1/x)f(1/y+1/(y+1/x))=1

f(1/y+1/(y+1/x))=y=f(x)

1/y+1/(y+1/x))=x

x y^2-y-1/x=0

(xy)^2-(xy)-1=0

xy=f(1)=a

f(x)=y=a/x

如果题目不是指严格单调,那么f(1)还可能是正负1,即f(x)=正负1

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