已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)-a)^2 的最小值为8,求实数a的范围.
4个回答
答案确实是3个
首先是3或－1：（参看楼上的也可,做法很多的,我是直接展开,这对做根号10比较好）
展开f(x)=2^(2x)＋2^(-2x)－2a[2^x+2^(-x)]+2a^2
用楼上的各位说的不等式易知：不管a＝几,当x=0时f(x)最小
即当x=0时f(x)min=f(0)=2a^2-4a+2,而题目告诉最小值是8
即2a^2-4a+2=8,(注意不是2楼说的>=,因为f(0)本身就是最小值,它当然应该＝最小值,汗……很弱智的问题)
这样解出来a＝3或－1
至于根号10的来历,嘿嘿,象我这样展开来做就容易看出来了
在上面的展开式中对前两项配方,
注意到[2^x+2^(-x)]^2=2^(2x)+2^(-2x)+2
得到f(x)=[2^x+2^(-x)]^2-2a[2^x+2^(-x)]+a^2+a^2-2
我故意把2a^2拆开,因为这又是个平方式
f(x)=[2^x+2^(-x)－a]^2+a^2-2
由于a是常数如果让中括号内的式子＝0,当然是最好,
注意中括号内的式子
2^x+2^(-x),值域在大于等于＋2
又注意到最小值是8.如果中括号内＝0,则a^2-2=8,a=根号10
这时把a带回中括号,由于根号10>2,所以可以满足中括号内为零
即,这也是函数取最小值的情况.注：这种情况x不＝0,楼上各位就是漏了这种情况
不知道我说清楚了没有
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