求积分cos^2/x^2+1 dx 上下限都为无穷
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已知f(t)=e^(-|t|)的傅里叶变换为F(w)=2/(w^2+1)

所以根据傅里叶反变换

e^(-|t|)=f(t)=(1/2π) ∫(-∞,+∞) F(w)e(iwt)dw=(1/2π) ∫(-∞,+∞) [2/(w^2+1)]e(iwt)dw

=(1/π) ∫(-∞,+∞) [coswt/(w^2+1)]dw

令t=2得到

∫(-∞,+∞) [cos2w/(w^2+1)]dw=πe^(-2)

把w换成x得到

∫(-∞,+∞) [cos2x/(x^2+1)]dx=πe^(-2)

下面来求本题的积分

∫(-∞,+∞) [(cosx)^2/(x^2+1)]dx

=(1/2)∫(-∞,+∞) [(1+cos2x)/(x^2+1)]dx

=(1/2) {∫(-∞,+∞) [1/(x^2+1)]dx + ∫(-∞,+∞) [cos2x/(x^2+1)]dx}

=(1/2) {arctanx |(-∞,+∞) +πe^(-2)}

=(1/2) [π+πe^(-2)]

=(π/2)(1+e^(-2))

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