BE = 2CE.
证明:连AG并延长交BC于M.
(第一步倒角证明FC = FG)
∵DE // AC,DE ⊥ BC,
∴AC ⊥ BC,∠ACB = 90°,
∴∠FCG = 90°-∠GCE.
另一方面,∠GBC = ∠DBC-∠ABF,∠GCB = ∠DCB-∠DCG,
∴∠FGC = ∠GBC+∠GCB = (∠DBC+∠DCB)-(∠ABF+∠DCG).
又∵∠BDC = 90°,∠GCE = ∠ABF+∠DCG,
∴∠FGC = (180°-∠BDC)-(∠ABF+∠DCG) = 90°-∠GCE = ∠FCG,
∴FC = FG.
(第二步由FC = FG证明AG ⊥ CG,并由此继续倒角)
而由DE // AC可得AF:DG = BF:BG = FC:GE.
于是由DG = GE,有AF = FC = FG.
∴∠AGC = ∠AGF+∠FGC = ∠GFC/2+∠AFG/2 = 90°.
∴∠GAC = 90°-∠ACG = ∠GCE.
而∵∠DAC = 90°-∠ACD = ∠DCE,
∴∠BAM = ∠DAC-∠GAC = ∠DCE-∠GCE = ∠DCG.
(第三步由角度证相似,说明G是△ABC的重心)
在△BAM与△DCG中,已证∠BAM = ∠DCG,
又∵∠ABM = 90°-∠DCE = ∠CDG,
∴△BAM ∽ △DCG,BM:AB = DG:CD.
而在△ABC与△CDE中,∠ACB = 90° = ∠CED,且已证∠ABC = ∠CDE,
∴△ABC ∽ △CDE,BC:AB = DE:CD,
∴BM:BC = DG:DE = 1/2,即M是BC中点.
又∵F是AC中点,
∴G作为△ABC两条中线的交点,是△ABC的重心,有BG:GF = 2:1.
最后由DE // AC,得BE:EC = BG:GF = 2:1,即所求证.
注:证明写得比较长,可能不容易抓住重点.
如果熟悉"直角三角形及斜边上垂线"的基本图形,理解起来会简单一点:
注意到△DBE ∽ △CDE,而BG和CG是一对非对应边上的中线.
如果将二者集中到一个三角形中(比如在△DBE中作BE边上的中线),
那么∠ABF和∠DCG会变成同一三角形的两个内角,进而出现∠ABF+∠DCG.
同时三角形的重心的出现也变得很自然了.
