解题思路：（1）点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况．根据垂径定理得到弧BE=弧AE，则弧BD=弧BE的2倍，再根据半圆的度数是180°，从而求得弧BE的度数是60°，则劣弧AB的度数是120°，进而求得∠BPA的度数；
（2）分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合（1）中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解．
（1）根据垂径定理得到弧BE=弧AE．
又
AB=
BD，则弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度数是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；
（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
①当P在弧EAD上时，（图1）GP切OC于点P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP为⊙C的直径．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4
3，OA=2
3，P（2
3，4）
②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于点P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4
3，OB=2
3，P（-2
3，4），
∴存在点P1（2
3，4）、P2（-2
3，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
点评：
本题考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定．
考点点评： 综合运用了垂径定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论以及解直角三角形的知识．
