已知定义域为R的函数 f(x)= 3 x +b 3 x +a 是奇函数．
1个回答
方法一：
（1）由定义在R上的函数 f(x)=
3 x +b
3 x +a 是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即
3 x +b
3 x +a +
3 -x +b
3 -x +a =0 即
3 x +b
3 x +a +
b• 3 x +1
1+a• 3 x =0 ，
整理得（a+b）（3 x） 2+（ab+1）3 x+a+b=0对任意x∈R恒成立，
故
a+b=0
ab+1=0 ，解得
a=1
b=-1 或
a=-1
b=1 ，
又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．
方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时 f(x)=
3 x -1
3 x +a ，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时 f(x)=
3 x -1
3 x +1 ，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．
（2）由 f(x)=
3 x -1
3 x +1 得 f′(x)=
3 x ln3( 3 x +1)-( 3 x -1) 3 x ln3
( 3 x +1) 2 =
2• 3 x ln3
( 3 x +1) 2 ＞0 恒成立，
故函数y=f（x）在R上为增函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数
由f（2t 2+4t）+f（k-t 2）＜0得f（2t 2+4t）＜-f（k-t 2）2t 2+4t＜t 2-k（12分）-k＞t 2+4t=（t+2） 2-4对一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2） 2-4} max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．
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