如图,在三角形ABC中,角ABC等于90度,AB等于90度,AB=4,BC=3,O是边A C上的一个动点,以点O为圆心作
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（1）证明：连接OD,
∵AP切半圆于D,∠ODA=∠PED=90°,
又∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA,
∠AEP=∠OED+∠PED,
∴∠ADE=∠AEP,
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△AEP；
∵△AOD∽△ACB,
∴
0A
CA
＝
OD
CB
＝
AD
AB
,
∵AB=4,BC=3,∠ABC=90°,
∴根据勾股定理,得AC=
AB2+BC2
=5,
∴OD=
3
5
OA,AD=
4
5
OA,
∵△ADE∽△AEP,
∴
AE
AP
＝
AD
AE
=
DE
EP
,
∵AP=y,OA=x,AE=OE+OA=OD+OA=
8
5
OA,
∴
AE
AP
＝
AD
AE
=
4
5
OA
8
5
OA
=
1
2
,
则y=
16
5
x（0＜x≤
25
8
）；
情况1：y=
16
5
x,BP=4-AP=4-
16
5
x,
∵△PBF∽△PED,
∴
BF
BP
＝
ED
EP
,
又∵△ADE∽△AEP,
∴
ED
EP
＝
AE
AP
,
∴
BF
BP
＝
AE
AP
,
∴
1
4−
16
5
x
＝
8
5
x
16
5
x
,
解得：x=
5
8
,
∴AP=
16
5
x＝2．
情况2：如图,半圆O的半径R较大时,EP交AB延长线于点P,P在B上方；交BC于点F,F在BC之间：
CF=BC-BF=3-1=2,
过点E作EG⊥BC,
则△CGE∽△CBA,
则
EG
AB
=
CG
BC
=
CE
AC
=
2
5
,
解得,EG=
8
5
,CG=
6
5
,
FG=FC-CG=2-
6
5
=
4
5
,
PB：EG=FB：FG,
PB=
8
5
÷
4
5
=2,
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6．
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