如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有[PE/PD]的值；若不存在，说明理由．

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

解题思路：（I）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=[1/2]AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．

（II）取AD中点M，连接CM，可证得CM⊥平面PAD，连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角，进而根据CE与平面PAD所成的角为45°，得到满足条件的E点位置，进而得到答案．

证明：（Ⅰ）连接AC，

∵PA=BC=1，AD=2．

∵PA⊥面ABCD，

∴PA⊥AB，

而∠PBA=45°，

∴AB=1，

又∠ABC=∠BAD=90°，

易得CD=AC=

2．

由勾股定理逆定理得则AC⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD．

又∵AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，

又∵CD⊂平面PCD，

∴平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）取AD中点M，连接CM，

∵AD=2BC，故AM=BC，

此时四边形ABCM为矩形，则CM⊥AD，

又∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，

∴PA⊥CM．

∵AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，

∴CM⊥平面PAD，

连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角．

∵CM=1，

∴ME=1，在△PAD中，MD=1，[PE/PD]=1．

不难求到另一个点E的位置为[PE/PD]=[1/5]，

所以，线段PD上存在点E，使CE与平面PAD所成的角为450，此时[PE/PD]=1或[1/5]．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面的夹角，存在性问题，难度中档．

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识