设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．
1个回答
解题思路：（1）根据特征值的定义，利用已知条件Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．就可求出A的特征值；
（Ⅱ）只需证明出A的特征值对应的特征向量是线性无关的即可．
（I）
由已知得：
A（α1+α2+α3）=2（α1+α2+α3），A（α2-α1）=-（α2-α1），A（α3-α1）=-（α3-α1），
又因为α1，α2，α3线性无关，
所以α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，
所以-1，2是A的特征值，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1是相对应的特征向量，
由α1，α2，α3线性无关，得：α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1也线性无关，
所以-1是矩阵A的二重特征值，
即A的全部特征值为：-1，2．
（II）
证明：
∵（α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1）=（α1，α2，α3）
1−1−1
110
101，
并且
.
1−1−1
110
101.＝2，
又由α1，α2，α3线性无关可知，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1线性无关，
∴A有三个线性无关的特征向量，
从而：矩阵A可相似对角化．
点评：
本题考点： 矩阵可相似对角化的充分必要条件；向量组线性无关的判定与证明．
考点点评： 此题考查矩阵特征值和特征向量的定义，以及判断矩阵对角化的方法，都是基础知识点．
相关问题
