已知函数f(x)=2x2-3x+1,g(x)=Asin(x-[π/6])(A≠0)
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解题思路:(1)由题意知y=f(sinx)=2sin2x-3sinx+1,设t=sinx,则0≤t≤1,y=2(t2-

3

2

t

)+1,利用配方法能求出t=0时,y=f(sinx)取最大值1.

(2)由已知条件推导出-

1

2

≤sin(

x

2

π

6

)≤1

.依据题意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集,由已知条件能求出实数A的取值范围.

(3)f(sinx)<a-sinx化为2sin2x-2sinx+1<a在[0,2π]上恒成立,由此利用换元法能求出a>5.

(1)由题意知y=f(sinx)=2sin2x-3sinx+1,

设t=sinx,x∈[0,[π/2]],则0≤t≤1,

∴y=2(t2-[3/2t)+1=2(t-

3

4])2-[1/8],

当t=0时,y=f(sinx)取最大值1.

(2)当x1∈[0,3]时,f(x1)值域为[-[1/8,10],

当x2∈[0,3]时,则-

π

6]≤x2−

π

6≤3−

π

6,

∴-[1/2≤sin(x2−

π

6)≤1.

①当A>0时,g(x2)值域为[-

1

2A,A],

②当A<0时,g(x2)值域为[A,-

1

2A],

而依据题意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集,

A>0

10<A

1

8≥−

1

2A]或

A<0

10≤−

1

2A

1

8≥A,

∴A≥10或A≤-20.

(3)等式f(sinx)<a-sinx在[0,2π]上恒成立,

等价于2sin2x-2sinx+1<a在[0,2π]上恒成立,

令t=sinx,则t∈[-1,1],

∴y=2t2−2t+1=2(t−

1

2)2+

1

2∈[[1/2],5].

∴a>5.

点评:

本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查函数的最大值的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意三角函数性质的合理运用.是中档题.