已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+
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解题思路：（1）由题设知，令x1＜x2，且x1、x2∈[-1，1]，则
f(
x
1
)+f(−
x
2
)
x
1
+(−
x
2
)
=
f(
x
1
)−f(
x
2
)
x
1
−
x
2
＞0，故f（x1）＜f（x2），由此得到函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数，知f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，由m2-2am+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，知g（a）=2ma-m2≤0对a∈[-1，1]恒成立，由此能求出m的范围．
（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有
f(a)+f(b)
a+b＞0，
∴令x1＜x2，且x1、x2∈[-1，1]，
则
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)=
f(x1)-f(x2 )
x1-x2＞0，
∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．…（6分）
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
∵m2-2am+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，
∴g（a）=2ma-m2≤0对a∈[-1，1]恒成立，
∴
g(-1)=-2m-m2≤0
g(1)=2m-m2≤0，
解得m≥2或m≤-2或m=0．…（12分）
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考查函数单调性的判断，求实数的取值范围．具体涉及到定义法判断函数的单调性、函数恒成立问题、不等式的性质．综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答．
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