若△ABC满足[sinB/sinA=3cos(A+B)
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解题思路：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=-3sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=-4tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为-tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=-4tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．
∵sinA＞0，sinB＞0，
∴
sinB
sinA=3cos(A+B)=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C为钝角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-
tanA+tanC
1-tanAtanC]=-[-3tanA
1+4tan2A=
3
1/tanA+4tanA]≤[3/4]，
当且仅当[1/tanA=4tanA，即tanA=
1
2]时取等号，
则tanB的最大值为[3/4]．
故答案为：[3/4]．
点评：
本题考点： 基本不等式；三角函数中的恒等变换应用．
考点点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．
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