解题思路：（1）对函数求导可得y′=2x，根据导数的几何意义可求切线斜率k，进而可得切线方程，即可
（2）由
c
n
＝
1
n
2
+
n
2
＝
4
(2n+1)•2n
＜
4
(2n−1)(2n+1)
＝2(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
，利用裂项求和可证
（3）由
d
n
＝
2
n
λ•
2
n
+1−λ
可得，
d
n
−
1
λ
＝
λ−1
λ(λ•
2
n
+1−λ)
，由0＜λ＜1可得
1
λ•
2
n
+1−λ
＜
1
λ•
2
n
可证
（1）对函数求导可得y′=2x，根据导数的几何意义可得在点（n，n2）处的切线斜率k=2n
故所求切线方程为y-n2=2n（x-n） 即
x
n/2−
y
n2＝1
∴an＝
n
2，bn＝n2
（2）cn＝
1
n2+
n
2＝
4
(2n+1)•2n＜
4
(2n−1)(2n+1)＝2(
1
2n−1−
1
2n+1)
当n=1 时，左边=
2
3＜ 右边，不等式成立；…（6分）
当n≥2 时，c1+c2+…+cn＜c1+2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n−1−
1
2n+1)
=
2
3+2(
1
3−
1
2n+1)＜
4
3]
∴c1+c2+…+cn＜
4
3(n∈N*)
（3）dn＝
2n
λ•2n+1−λ
，dn−
1
λ＝
λ−1
λ(λ•2n+1−λ)
∵0＜λ＜1，∴[λ−1/λ＜0，λ•2n+1−λ＞λ•2n＞0，∴
1
λ•2n+1−λ＜
1
λ•2n]
所以dn−
1
λ＝
λ−1
λ(λ•2n+1−λ) ＞
λ−1
λ•
1
λ•2n＝
λ−1
λ2•
1
2n
(d1−
1
λ)+(d2−
1
λ)+…+(dn−
1
λ)＞
λ−1
λ2(
1
21+
1
22+…+
1
2n)
∵[λ−1
λ2＜0，
1
21+
1
22+…+
1
2n＝1−
1
2n＜1，
∴
λ−1
λ2(
1
21+
1
22+…+
1
2n)＞
λ−1
λ2，
∴(d1−
1/λ)+(d2−
1
λ)+…+(dn−
1
λ)＞
λ−1
λ2]
∴d1+d2+…+dn＞
n
λ+
λ−1
λ2＝
nλ+λ−1
λ2
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了利用导数的几何意义求解函数在一点的切线方程，数列求和的裂项求和及放缩法证明不等式的知识的综合应用
