如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．

如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．

求证：AG2=AF•FC．

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4个回答

解题思路：在Rt△ABC中，BF⊥AC，根据射影定理可得BF2=AF•FC，所以只需证得BF=AG即可；由于E是CD中点，易证得△DAE≌△CBE，得AE=BE，由于GF∥AB，则△EGF也是等腰三角形，得EG=EF，进而可得AG=BF，由此得证．

证明：∵E是CD中点，

∴DE=CE；

在△DEA和△CEB中，

AD＝BC

∠D＝∠BCE

DE＝CE

∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE=BE；

∵GF∥AB，

∴[EG/AE＝

EF

BE]，即[AG/AE＝

BF

BE]，

∵AE=BE，则AG=BF；

在Rt△ABC中，BF⊥AC，则△ABF∽△BCF，

∴BF2=AF•FC，即AG2=AF•FC．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定；矩形的性质．

考点点评： 此题主要考查的是全等三角形、相似三角形的判定和性质，能够发现AG、BF的等量关系是解答此题的关键．

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