如图12,分别延长正方形ABCD的边CB和BA,至点E和F,使BE=AF,连接AE,并延长交DF于点H
3个回答

第一小题应该是证明:△ADH~△FDA成立

(1)证明:在Rt△ABE与Rt△DAF中,有:

AB=DA,∠ABE=∠DAF=90°,BE=AF

所以:Rt△ABE≌ Rt△DAF

则:∠BAE=∠ADF

又∠BAE+∠BAD+∠DAH=180°,∠BAD=90°

所以:∠ADF+∠DAH=90°

即:∠AHD=90°=∠FAD

又∠ADH=∠FDA

所以证得△ADH~△FDA (AA)

(2) 由(1)知△ADH~△FDA,则:

AH/FA=AD/FD (*)

由Rt△ABE≌ Rt△DAF得:AE=FD,且BE=FA

所以(*)可化为:

AH/BE=AD/AE

即AH=AD*BE/AE

因为BE=b,AD=a,AE=√(AB²+BE²)=√(a²+b²)

则:AH=ab/√(a²+b²)

所以:AH/AE=[ab/√(a²+b²)]/√(a²+b²)=ab/(a²+b²)

(3)因为AE(AH+HE)

=AE(AH+AE+AH)

=AE²+2AE*AH

且由(2)得AE=√(a²+b²),AH=ab/√(a²+b²)

所以:AE(AH+HE)=[√(a²+b²)]²+2*[√(a²+b²)]*[ab/√(a²+b²)]

=a²+b²+2ab

=(a+b)²

又CE=CB+BE=a+b

所以:CE²=AE(AH+HE)