设函数f(x)=(根号(x^2+1))-ax,当a≥1时,试证明函数f(x)在区间[0,+∞]上是单调函数.
2个回答
问题1：
任取x1,x2 ,使得0＜x1＜x2
F(x1)= √¯x1^2+1¯-ax1
F(x2)= √¯x2^2+1¯-ax2
F(x1)- F(x2)=√¯x1^2+1¯-ax1-√¯x2^2+1¯+ax2
=(√¯x1^2+1¯-√¯x2^2+1¯) –a(x1-x2)
=(√¯x1^2+1¯-√¯x2^2+1¯) (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯)/ (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯) –a(x1-x2)
=( x1^2- x2^2) / (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯) –a(x1-x2)
=(x1+x2)(x1-x2) / (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯) –a(x1-x2)
=(x1-x2)( x1+x2–a√¯x1^2+1¯–a√¯x2^2+1¯) / (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯)
=(x1-x2)( √¯x1^2¯–a√¯x1^2+1¯+√¯x2^2¯–a√¯x2^2+1¯) / (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯)
∵0＜x1＜x2,a≥0
∴x1-x2＜0,√¯x1^2¯–a√¯x1^2+1¯＜0,√¯x2^2¯–a√¯x2^2+1¯＜0
∴F(x1)- F(x2)>0
∴F(x1)> F(x2)
∴f(x)= √¯x^2+1¯-ax在区间[0,+∞]上是单调递减函数（a≥0）
问题2：
F(x1)- F(x2)=√¯x1^2+1¯-ax1-√¯x2^2+1¯+ax2
=(x1-x2)( √¯x1^2¯–a√¯x1^2+1¯+√¯x2^2¯–a√¯x2^2+1¯) / (√¯x1^2+1¯+√¯x2^2+1¯)
∵0＜a＜1 ∴0
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