高一数学,求各种值域的方法
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一、配方法
通过配方结合函数图像求函数的值域,一般地,对于二次函数 求值域问题可运用配方法.
例1、 求 的值域
于是 的值域为 .
二、反函数法
一般地,形如 ,可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系.
例2、 求函数 的值域.
由 得 ,因为 ,所以 .
于是此函数的值域为
三、分离常数法
一般地,对于分式函数来说,可以分离一个常数去求函数的值域.
例3、 求 的值域
而
即 ,所以
即函数 的值域为 .
注意：例2也可以利用分离常数法去求值域,有兴趣的读者可以试一试.
四.判别式法
一般地.形如 ,转化为关于y的一元二次方程,利用方程有实数解,来求y.
例4、 求 的值域.
由 去分母得
即
当y=2时,此方程无实根.
当 ,此方程为一元二次方程,
即
所以 ,又因为 ,于是
故函数 的值域为
注意：下面2点不能直接用判别式法.
1、定义域去掉无限个点.2、分子分母中含有公因式.
五、换元法
一般地,形如 ,通过换元 （注意此时t的范围）
例5求 的值域
所以 =
当t=0时,y有最小值3.
于是 的值域为 .
六、分类讨论法
通过分类讨论函数定义域x的符号去求值域.
例6求 的值域
解；
因为 ,所以 ,即
当
而 即
综上：的值域为 .
