已知α、β(α>β)是一元二次方程x²-x-1=0的两个实数根
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（1）因为α、β（α＞β）是一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根
x²－x－1＝（x－1/2）²－1/4－1＝（x－1/2）²－5/4＝0
即（x－1/2）²＝5/4
所以x－1/2＝√5/2或x－1/2＝－√5/2
即x＝（1+√5/2）/2或x＝（1－√5）/2
因为α>β,所以α＝（1+√5/2）/2,β＝（1－√5）/2
则S1＝α+β＝（1+√5/2）/2+（1－√5）/2＝1
S2＝α²+β²＝（α+β）²－2α*β＝1－2*（1+√5/2）/2*（1－√5）/2＝3
（2）S3＝α^3+β^3＝（α+β）（α²+β²－αβ）＝1*（3+1）＝4
因为S3＝S2+S1推测Sn＝Sn-1+Sn-2
用数学归纳法证明
S4＝α^4+β^4＝（α²+β²）^2－2α²*β²＝3*3－2*1＝7
S1＝1,S2＝3,S3＝4,S4＝7
则有S3＝S2－S1,S4＝S3－S2
……
Sn-2＝α^（n-2）+β^（n-2）,Sn-1＝α^（n-1）+β^（n-1）,Sn＝α^n+β^n
Sn＝α^n+β^n＝α^（n-1）+β^（n-1）+α^（n-2）+β^（n-2）＝Sn-1－Sn-2
所以Sn＝Sn-1+Sn-2
（3）根据以上推测的关系式,可得S5＝S4+S3＝7+4＝11
S6＝S5+S4＝11+7＝18,S7＝S6+S5＝18+11＝29,S8＝S7+S6＝29+18＝47
S9＝S8+S7＝47+29＝76＝α^9+β^9＝[（1+√5/2）/2]^9+[（1－√5）/2]^9
即S9＝76
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