这个不等式相当难,我自己试了很多办法都没成功.
后来看到一种证法,在这里贴一下(这里引的原文有点笔误).
首先证明引理:对a,b,c,d ≥ 0,满足a+b = c+d.
若max{a,b} ≤ max{c,d},则√a+√b ≥ √c+√d.
证明:由a+b = c+d,max{a,b} ≤ max{c,d},有|a-b| ≤ |c-d|.
于是4ab = (a+b)²-(a-b)² ≥ (c+d)²-(c-d)² = 4cd.
(√a+√b)² = a+b+√(4ab) ≥ c+d+√(4cd) = (√c+√d)²,即有√a+√b ≥ √c+√d.
回到原题.
由轮换对称性,不妨设成立x ≥ y ≥ z或x ≤ y ≤ z.
观察到x+y²+y+z² = y²+z²+1-z = z+y²+(1-z)² = (x+y)²+z+y².
此外,若x ≥ y ≥ z,有(x+y)² = x²+2xy+y² = x(x+2y)+y² ≥ x(x+y+z)+y² = x+y².
(x+y)² = (1-z)² = 1-2z+z² = x+y-z+z² ≥ y+z².
于是max{(x+y)²,z+y²} ≥ (x+y)² ≥ max{x+y²,y+z²}.
而若x ≤ y ≤ z,有z+y² ≥ x+y²,z+y² = y+z²-y(1-y)+z(1-z) = y+z²-xy+xz ≥ y+z².
于是max{(x+y)²,z+y²} ≥ z+y² ≥ max{x+y²,y+z²}.
即max{(x+y)²,z+y²} ≥ max{x+y²,y+z²}对两种情况都成立.
由引理得:√(x+y²)+√(y+z²) ≥ √(x+y)²+√(z+y²) = x+y+√(z+y²) = 1-z+√(z+y²).
而由闵科夫斯基不等式,√(z+y²)+√(z+x²) ≥ √((√z+√z)²+(x+y)²) = √(4z+(1-z)²) = 1+z.
故√(x+y²)+√(y+z²)+√(z+x²) ≥ 1-z+√(z+y²)+√(z+x²) ≥ 1-z+1+z = 2.
参考:下面链接,例1.11.
