求所有三阶非零矩阵,其平方为零 - 已解决 - 学校大全

求所有三阶非零矩阵,其平方为零

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对 A 的秩进行分析,显然 A 的秩只能是 1 或者 2如果 r(A) = 2,那么把 A^2 = 0 视作方程 AX =0 有非零解 A,但是 A 的解空间是 1 维的,不可能有两个线性无关解,矛盾,由此推出 r(A) = 1既然 A 是秩 1 矩阵,那么可以写成 A = xy^T 的形式,其中列向量 x 和 y 都非零,再利用 A^2 = (y^Tx)A 得到 y^Tx=0反过来再验证一下满足 y^Tx=0 的所有非零向量 x 和 y 都可以用于生成满足条件的矩阵 A

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