(2014•海口二模)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)−f(x)x2<0恒成立
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解题思路:首先根据商函数求导法则,把

xf′(x)−f(x)

x

2

<0

化为[

f(x)

x

]′<0;然后利用导函数的正负性,可判断函数y=

f(x)

x

在(0,+∞)内单调递减;再由f(2)=0,易得f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得f(x)在(-∞,0)内的正负性.则x2f(x)>0⇔f(x)>0的解集即可求得.

因为当x>0时,有

xf′(x)−f(x)

x2<0恒成立,即[

f(x)

x]′<0恒成立,

所以

f(x)

x在(0,+∞)内单调递减.

因为f(2)=0,

所以在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.

又因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.

又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集.

所以答案为(-∞,-2)∪(0,2).

故选D.

点评:

本题考点: 函数的单调性与导数的关系;奇偶函数图象的对称性;其他不等式的解法.

考点点评: 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特征.